L'un des problèmes les plus classiques de la statistique multivariée est le problème de test d'uniformité sur l'hypersphère unité. Plutôt que de se limiter à des tests qui ne peuvent détecter que des types spécifiques d'alternatives, nous considérons la vaste classe des tests de Sobolev. Bien que certains de ces tests soient connus pour être `òmnibus", leur comportement asymptotique sous l'alternative ainsi que leurs taux de détection, de manière inattendue, restent largement inexplorés. Pour améliorer cette situation, nous étudions en détail les puissances asymptotiques locales des tests de Sobolev dans le cadre d'alternative classiques à l'uniformité, à savoir les alternatives à symétrie rotationelle. Nous montrons en particulier que les taux de détection des tests de Sobolev ne dépendent pas seulement des coefficients qui définissent ces tests, mais aussi des dérivées de la fonction angulaire sous-jacente en zéro.